Home Mathematics Le Français Hugo Duminil-Copin, qui a reçu la médaille Fields 2022, explore les énigmes mathématiques du magnétisme de la matière

Le Français Hugo Duminil-Copin, qui a reçu la médaille Fields 2022, explore les énigmes mathématiques du magnétisme de la matière

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Le mathématicien Hugo Duminil-Copin, professeur permanent depuis 2016 à l’Institut des Hautes Études Scientifiques, vient de remporter la très prisée médaille Fields. © IHES, Marie-Claude Vergne

Une médaille Fields, une sorte de Nobel des mathématiques, est encore une fois attribuée à un Français cette année dans le cadre du Congrès international des mathématiciens se déroulant à Helsinki. Elle revient à Hugo Duminil-Copin qui est Professeur permanent à l’Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES), l’Institute for Advanced Study de Princeton français, où enseignait et travaillait une légende des mathématiques Alexandre Grothendieck, et qui donne aussi de son temps comme professeur ordinaire à la Section de mathématiques de la Faculté des sciences de l’Université de Genève.

Le parcours d’Hugo Duminil-Copin est assez classique pour une grande partie des lauréats de la médaille Fields français qu’il vient de rejoindre, tels Alain Connes ou Cédric Villani. Né le 26 août 1985, il a en effet intégré l’École normale supérieure de la rue d’Ulm après avoir effectué deux ans de classes préparatoires au lycée Louis-le-Grand, également à Paris. Il a décrit dans plusieurs vidéos sa trajectoire qui ne laissait nullement présager au collège ou au lycée qu’il deviendrait plus tard un mathématicien professionnel d’un niveau mondial. Elle contraste avec celle de l’Ukrainienne Maryna Viazovska, aussi lauréate de la médaille Fields 2022, issue d’une famille de chimistes et participant dès le collège à des Olympiades de mathématiques.

Hugo Duminil-Copin, professeur permanent à l’IHES, nous parle de son parcours et de ses recherches.  © Université Paris-Saclay

Deux médailles Fields comme professeurs

Les parents d’Hugo Duminil-Copin – sa mère était danseuse avant de devenir institutrice et son père prof de sport – bien que l’exposant à plusieurs activités ne l’ont pas particulièrement poussé à faire des études scientifiques ni ne lui ont mis la pression pour qu’il excelle à l’école. En complément de ces vidéos il existe un article très complet datant de décembre 2020 et que l’on peut lire en ligne sur le site de l’université de Genève où l’on apprend donc que, dans sa jeunesse, ses parents « remarquent bien que leur fils aîné est doué. Ils en sont fiers mais pas au point de le pousser à exploiter au maximum ses talents scolaires ou à entrer en compétition avec ses camarades. Enseignants tous les deux, ils ont probablement eu le loisir de remarquer les dégâts que peut provoquer ce genre d’éducation sur l’équilibre des enfants. Et puis, le père avait lui-même sauté une classe dans sa jeunesse et l’avait vécu comme un traumatisme. Pas question que son fils vive la même épreuve » et que « s’identifiant plutôt à la tortue qu’au lièvre de la fable, il se félicite d’avoir donné du temps au temps dans sa jeunesse et d’en avoir profité pour exercer d’autres activités comme la musique et le sport ».

On apprend aussi qu’à Louis-le-Grand, à peine arrivé « il y mange sa “première grande claque”. Il se retrouve en effet avec des élèves tous supérieurs à lui. Il est immédiatement en difficulté. Il n’a d’autre choix que de se mettre à travailler. Il s’y prend bien et remonte lentement la pente. En fin d’année, il est même le meilleur de sa classe en math. En récompense, on l’envoie dans une classe spéciale qui rassemble tous les surdoués parmi les surdoués. Et là, il recueille sa “deuxième grande claque”. Il est avant-dernier de la classe au premier contrôle de math. Une fois de plus, il trime et finit premier à la fin de l’année ».

Diplômé d’un master de l’Université Paris-Sud, désormais Université Paris-Saclay, il est remarqué par un de ses professeurs, Wendelin Werner, un lauréat de la médaille Fields en 2006 dont Futura avait déjà parlé dans un précédent article. Celui-ci va préférer l’orienter vers un doctorat et un post-doctorat à l’université de Genève sous la supervision de Stanislas Smirnov, lui-même lauréat de la médaille Fields en 2010, et qu’il considère comme l’homme du moment pour le thème de recherche qui intéresse Hugo Duminil-Copin.

Il s’agit de questions à l’intersection de la théorie des transitions de phases et en particulier dans les matériaux magnétiques, de la théorie des marches aléatoires telles que celles pour le mouvement brownien (dans le but de modéliser par exemple le comportement des polymères comme l’ADN, plongés dans un solvant) et en rapport avec les modèles de la percolation (du latin percolare, couler à travers). Un début d’explication de ses travaux sur les matériaux magnétiques se trouve dans la vidéo ci-dessous, et des explications plus développées et avec la notion de percolation dans la vidéo qui la suit et que l’on doit à la Fondation Simons qui édite le fameux Quanta Magazine.

Hugo Duminil-Copin explique que ses travaux portent sur les modèles d’ising des matériaux magnétiques et qu’ils relèvent de ce que l’on appelle la mécanique statistique. © Université Paris-Saclay

Probabilités et magnétisme, des traditions bien françaises

Les travaux de Hugo Duminil-Copin s’inscrivent dans une longue tradition française à l’interface des mathématiques et de la physique et relèvent à la base de la théorie des probabilités et de la modélisation du magnétisme de la matière.

En effet, bien qu’esquissée par le mathématicien et médecin italien Jérôme Cardan (bien connu pour sa méthode de résolution générale des équations du troisième degré et la découverte des nombres complexes) dans son livre Liber de ludo aleae (Le livre sur les jeux de hasard), la théorie du calcul des probabilités ne va vraiment se développer qu’à partir des contributions de Blaise Pascal et Pierre de Fermat via leur correspondance épistolaire. Elle recevra ensuite une impulsion considérable entre les mains de Pierre-Simon de Laplace.

C’est désormais une branche majeure de l’arbre organique des mathématiques qui se décline sous plusieurs définitions possibles de la notion de probabilité (classique, fréquentielle, bayésienne) et qui a reçu au XXe siècle d’autres impulsions déterminantes en particulier du Russe Andreï Kolmogorov, mais on pourrait aussi citer l’Anglais Harold Jeffreys.  

Passons maintenant à l’étude du magnétisme de la matière. C’est Charles Coulomb qui, en plus de découvrir la loi de la force électrostatique entre deux charges électriques, introduit la notion de moment/dipôle magnétique et montre qu’une loi similaire à celle de l’électrostatique existe entre les pôles d’un aimant. C’est encore un Français, André-Marie Ampère qui, quelques décennies après, va proposer l’existence de boucles de courant microscopiques dans la matière pour générer le champ magnétique des matériaux constituant des aimants. C’est enfin Pierre Curie, que l’on ne présente plus, qui va montrer ensuite qu’en chauffant des aimants ils perdent leur aimantation au-delà d’une certaine température critique. Il s’agit d’une transition de phase analogue mais pas identique (second ordre) à celle faisant passer d’un liquide à un gaz (premier ordre).

Théorie du magnétisme de la matière et théorie des probabilités se trouvent combinées dans le cadre le plus général de ce que l’on appelle la physique et la thermodynamique statistique et qui a été établi par le mathématicien, physicien et chimiste états-unien Josiah Willard Gibbs, généralisant les travaux de James Clerk Maxwell et Ludwig Boltzmann (le jeune Einstein avait trouvé indépendamment de Gibbs la même théorie ou presque).

La matière étant constituée d’un très grand nombre de particules, bien plus que des milliards de milliards dans un seul litre d’air, il est impossible d’en décrire le comportement en résolvant les équations des mouvements de ces particules et on doit s’en remettre à des estimations de lois de probabilité avec des moyennes sur les caractéristiques des grandeurs physiques microscopiques, moyennes donnant des grandeurs macroscopiques comme la pression d’un gaz ou l’aimantation d’un bloc de fer.

Sur la théorie du magnétisme de la matière et notamment du ferromagnétisme des aimants, on pourra consulter le célèbre cours de physique de Richard Feynman et en ce qui concerne une introduction à la physique statistique il y a le célèbre cours de Frederick Reif, Statistical Physics, et pour ceux qui voudraient en savoir beaucoup plus, son traité Fundamentals of Thermal and Statistical Physics.

D’autres explications de Hugo Duminil-Copin concernant ses travaux sur le modèle d’Ising et ses connexions avec la percolation. Pour obtenir une traduction en français assez fidèle, cliquez sur le rectangle blanc en bas à droite. Les sous-titres en anglais devraient alors apparaître. Cliquez ensuite sur l’écrou à droite du rectangle, puis sur « Sous-titres » et enfin sur « Traduire automatiquement ». Choisissez « Français ». © Simons Foundation

Ising et Onsager, les pionniers

Comme esquissé dans la vidéo ci-dessous, on peut comprendre le comportement des matériaux magnétiques à partir de théories généralisant un modèle proposé dans les années 1920 par Ernst Ising dans sa thèse. Il s’agit d’un modèle simple dans lequel on peut considérer des particules sur une ligne qui serait horizontale comme des petits aimants dont l’aimantation serait toujours verticale. On fait en fait intervenir la notion de spin avec deux états possibles, « haut » et « bas ». Comme deux aimants, ces particules sont en interaction magnétique, mais on suppose que chaque particule n’est sensible qu’à l’influence de ses deux voisines.

La question que s’était posée Ising était de savoir si une aimantation spontanée pouvait se produire avec une majorité de spins orientés dans une seule direction. Sa réponse fut négative dans le cas à une dimension et il pensait qu’il devait en être de même pour un objet en 3 dimensions, comme un cristal dont les atomes se comporteraient de façon similaire. Il se trompait.

Alors qu’il avait abandonné la recherche pour se consacrer à l’enseignement, il ignora pendant des dizaines d’années que son modèle avait attiré l’attention de Heisenberg dans ses propres tentatives pour expliquer le ferromagnétisme des aimants et que des théoriciens comme Rudolph Peierls et surtout Lars Onsager avaient étendu ses calculs au cas à deux dimensions. À la fin des années 1940 et au début des années 1950, Onsager et Chen Ning Yang concluaient qu’une transition de phase expliquant la magnétisation spontanée au-dessous de la température de Curie d’un aimant apparaissait effectivement dans un modèle d’Ising à deux dimensions. Depuis lors, on ne compte plus le nombre d’articles publiés utilisant le modèle d’Ising pour décrire des phénomènes de transition de phase en physique statistique.

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